数1A 実数の問題と解説

こんにちは枯葉鯨です。

では早速問題に入っていきましょう。

一度自分で解いてみてくださいね。

問題

1-1 aを整数とし、$\frac{2}{a-\sqrt{5}}$の整数部分は2であるとする。

(1)aの値を求めよ。

(2)このようなaに対して、$\frac{2}{a-\sqrt{5}}$の小数部分をx、$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{10}}{\sqrt{a-\sqrt{5}}}$の小数部分をyと置く時、$8x^2-6xy+y^2$の値を求めよ。

解説

(1)整数部分が２とわかっているので範囲を絞り込んであげましょう！

$$2\le\frac{2}{a-\sqrt{5}}<3$$

こちらを解いてあげればa=3と分かりますね。

(2)先ほど求めたa=3を式に代入していきます。

$$\frac{2}{a-\sqrt{5}}=\frac{2}{3-\sqrt{5}}$$

$$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{10}}{\sqrt{a-\sqrt{5}}}=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{10}}{\sqrt{3-\sqrt{5}}}$$

さてxについては$\frac{2}{a-\sqrt{5}}$の整数部分が2とわかっているので、
$$x=\frac{2}{3-\sqrt{5}}-2=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$$
と分かります。

つづいてyを求めていきます。
まず$\sqrt{a-\sqrt{5}}$を整理すると。
$$\frac{\sqrt{10}-\sqrt{2}}{2}$$
これを元の式に当てはめて整理をすると
$$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{10}}{\sqrt{3-\sqrt{5}}}=3+\sqrt{5}$$
となります。
整数部分は5とわかるので、
$$y=3+\sqrt{5}-5=\sqrt{5}-2$$
であることが判明しました。

あとは各々の好きな方法でx,yを代入していただくと、答えは$\sqrt{5}$となります。

お疲れ様でした、慣れていない方だと少し難しかったかもしれませんね。

これから一緒にどんどん力をつけていきましょう！