では早速やっていきましょう。
問題
(1)次の無限級数の収束、発散を調べ、収束するものはその和を求めよ。
①\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{n+1}\)
②\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n} \sin^2 \frac{nπ}{2}\)
(2)直角三角形ABC(AB=2, BC=1, CA=\(\sqrt{3}\))に内接する円を\(C_1\)とし、2辺AB, BCと円\(C_1\)に接する円を\(C_2\), 2辺AB, BCと円\(C_2\)に接する円を\(C_3\), 以下同様に\(C_4 , C_5 , …C_n …\)を作る。
①\(C_1\)の半径\(r_1\)を求めよ。
②\(C_n\)の半径\(r_n\)を求めよ。
③\(C_n\)の面積を\(S_n\)とするとき、\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}S_n\)を求めよ。
(3)
①x>0のとき\(1<\sqrt{1+x}<1+x\)が成り立つことを証明せよ。
②\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\sqrt{1+\frac{k}{n^2}}\)の値を求めよ。
解答
(1)
①
②
(2)
(3)
問題は以上です、お疲れ様でした。
まだ行けるよって方は下もどうぞ。
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