では早速問題から見ていきましょう！
問題
(1)図1のように、滑らかに回転する定滑車および動滑車にロープがかけられており、ロープの一端は天井から吊り下げられたバネに結ばれている。動滑車には質量mのおもりが取り付けられており、実験当初は床の上に静止している。
このバネは、質量mのおもりをつけて天井から吊り下げて静止させると、自然長の状態からhだけ伸びる（図2）。以下の問いに答えよ。この実験では、ロープをゆっくりと弾くので、常に力の釣り合いが成り立っている。また、滑車、ロープ、バネの質量は無視でき、重力加速度の大きさをgとする。
①ロープを引く力を徐々に大きくしていくと、大きさが\(F_0\)を超えた瞬間におもりが床から離れた。\(F_0\)およびこの瞬間のバネののび\(x_0\)を求めよ。
②ロープを引いた長さlとロープを引く力の大きさFの関係を、\(0 \leqq l \leqq \frac{5}{2}h\)の範囲でグラフにかけ。
③ロープをひき始めてから物体が床からの高さhの位置に達するまでの間において、ロープを引く力がした仕事Wを求めよ。
(2)質量がともにmの物体A、Bをバネ定数kのバネの両端に固定し、水平な床に鉛直に置いて、静かに静止させた。次に、バネの長さが変わらないように注意しながら、図のように紐の一端を物体Aにつけ、反対側は天井に固定した滑車を通し、質量2mの物体Cに取り付けた。物体cをしずかにはなすと、紐は伸び縮みすることなく、物体Cはゆっくり動き出した。ここで、紐の質量および滑車と紐の間の摩擦は無視する。
重力加速度の大きさをgとし、バネの質量は無視できるものとして、以下の問いに答えよ。
①物体Cが鉛直にxだけ降下した時の、床から物体Bに働く垂直抗力の大きさをNとする。Nをxの関数として、\(0 \leqq N\)の範囲でグラフに表せ。
②物体Bが床から離れる瞬間におけるCの速さvを求めよ。
(3)図のように、水平面と角度θをなす斜面上に、下端を固定された軽いバネが取り付けられている。バネが押されずに自然の長さを持つときのバネの上端の位置を点P、点Pから斜面に沿って上向きに距離Lの点をQ、点Qより上方では斜面は滑らかであるが、点Pと点Qの間では斜面はあらく、物体と斜面の間の動摩擦係数は一定である。重力加速度の大きさをgとし、物体の大きさや空気抵抗は無視できるとする。この時、以下の問いに答えよ。
まず、質量mの物体をバネの上端に乗せて静止させたところ、バネは自然の長さから\(x_0\)だけ縮んだ。
次に、この物体を点Sにおいて静かに放したところ、物体は斜面を滑り出し、PQ間を一定の速さで通過した後、バネを押し込んで一旦静止した。物体がバネと接触する時にエネルギーの損失はないとする。
①斜面上に固定されたバネのバネ定数k、およびPQ間における物体と斜面との間の動摩擦係数μ`をそれぞれ求めよ。
②物体の加速度の大きさが最大に達した時点でのバネのちぢみ\(x_2\)を、g、θ、L、\(x_0\)から必要なものを用いて表せ。
一旦静止した物体は、再び斜面を上り始める。
③物体は点Pを通過後に斜面をどこまで登ることができるか。物体が到達できる最高地点と点Pとの距離RをLを用いて表せ。
④最高地点に達した後、物体はどのような運動をすると考えられるか。理由とともに述べよ。
(4)自然の長さがlのゴム紐の一端を天井に固定し、下端に質量mの小球Pを天井から\(\frac{l}{2}\)だけ下の位置に一度静止させ、静かに離した。
ゴム紐は伸びている時だけバネと同様に弾性力を及ぼし、そのバネ定数はkで、その質量は無視できる。また、たるんだゴム紐が小球Pの運動に影響することはないものとし、重力加速度の大きさをgとする。
①ゴム紐が伸び始める瞬間における小球Pの速さ\(v_0\)を求めよ。
②小球Pの速さの最大値を求めよ。
③小球Pの天井からの距離の最大値を求めよ。
解答
(1)
(2)
(3)
(4)
お疲れ様でした、余裕がある方はこちらもどうぞ
コメント